GARCH en EWMA 21 Mei 2010 deur David Harper, CFA, FRM, CIPM DOEL: vergelyk, kontrasteer en te bereken parametriese en nie-parametriese benaderings vir die beraming van voorwaardelike wisselvalligheid 8230 Insluitend: GARCH BENADERING Insluitend: eksponensieel glad (EWMA) Eksponensiële smoothing (voorwaardelike parametries) moderne metodes plaas meer gewig op onlangse inligting. Beide EWMA en GARCH plaas meer gewig op onlangse inligting. Verdere, as EWMA is 'n spesiale geval van GARCH, sowel EWMA en GARCH diens eksponensiële gladstryking. GARCH (p, q) en in die besonder GARCH (1, 1) GARCH (p, q) is 'n algemene outoregressiewe voorwaardelike heteroskedastic model. Sleutelaspekte sluit in: outoregressiewe (AR). tomorrow8217s variansie (of wisselvalligheid) is 'n agteruitgang funksie van today8217s variance8212it regresses op sigself Voorwaardelike (C). tomorrow8217s variansie depends8212is voorwaardelike on8212the mees onlangse variansie. 'N onvoorwaardelike variansie sou nie afhanklik van today8217s variansie Heteroskedastic (H). afwykings is nie konstant, hulle vloed met verloop van tyd GARCH regresses op 8220lagged8221 of historiese terme. Die uitgestel terme is óf variansie of vierkantig opbrengste. Die generiese GARCH (p, q) model regresses op (bl) kwadraat opbrengste en (q) afwykings. Daarom, GARCH (1, 1) 8220lags8221 of regresses verlede period8217s kwadraat terugkeer (maw net 1 terugkeer) en laaste period8217s variansie (dit wil sê net 1 variansie). GARCH (1, 1) gegee deur die volgende vergelyking. Dieselfde GARCH (1, 1) kan formule gegee word met Griekse parameters: Hull skryf dieselfde GARCH vergelyking as: die eerste kwartaal (gVL) is belangrik omdat VL is die lang termyn gemiddelde variansie. Daarom (gVL) is 'n produk: dit is die geweegde langtermyn gemiddelde variansie. Die GARCH (1, 1) model lost vir die voorwaardelike variansie as 'n funksie van drie veranderlikes (vorige variansie, vorige return2 en langtermyn variansie): Persistence is 'n funksie is ingesluit in die GARCH model. Wenk: In die bogenoemde formules, volharding is (b c) of (alfa-1 beta). Volharding verwys na hoe vinnig (of stadig) die variansie terugval of 8220decays8221 teenoor sy langtermyn gemiddelde. Hoë volharding is gelykstaande aan verval en stadige 8220regression na die mean8221 lae volharding is gelykstaande aan 'n vinnige verval en vinnige 8220reversion om die mean.8221 A volharding van 1.0 impliseer geen geringe terugkeer vertraag. A volharding van minder as 1,0 impliseer 8220reversion om die gemiddelde, 8221 waar 'n laer volharding impliseer groter terugkeer na die gemiddelde. Wenk: Soos hierbo, die som van die gewigte aan die uitgesak variansie en uitgestel kwadraat terugkeer is volharding (BC volharding). 'N Hoë volharding (groter as nul, maar minder as een) impliseer stadig terugkeer na die gemiddelde. Maar as die gewigte aan die uitgesak variansie en uitgestel kwadraat terugkeer is groter as een, die model is nie-stasionêre. As (BC) is groter as 1 (indien vC GT 1) die model is nie-stasionêre en, volgens Hull, onstabiel. In welke geval, is EWMA verkies. Linda Allen sê oor GARCH (1, 1): GARCH is beide 8220compact8221 (maw relatief eenvoudige) en merkwaardig akkuraat. GARCH modelle oorheers in wetenskaplike navorsing. Baie variasies van die GARCH model is probeer, maar min het verbeter op die oorspronklike. Die nadeel van die GARCH model is sy lineariteiten sic Byvoorbeeld: Los op vir langtermyn variansie in GARCH (1,1) Kyk na die GARCH (1, 1) vergelyking hieronder: Aanvaar dat: die alfa parameter 0.2, die beta parameter 0.7, en let daarop dat omega is 0.2, maar don8217t fout omega (0.2) vir die langtermyn variansie Omega is die produk van gammastrale en die langtermyn-afwyking. Dus, as Alpha Beta 0.9, dan gamma moet 0.1. Gegewe dat omega is 0.2, ons weet dat die langtermyn variansie 2,0 (0,2 184 0,1 2,0) moet wees. GARCH (1,1): Mere notasie verskil tussen Hull en Allen EWMA EWMA is 'n spesiale geval van GARCH (1,1) en GARCH (1,1) is 'n algemene geval van EWMA. Die belangrike verskil is dat GARCH sluit die addisionele term vir gemiddelde terugkeer en EWMA nie 'n gemiddelde terugkeer. Hier is hoe ons van GARCH (1,1) tot EWMA: Dan laat ons 'n 0 en (BC) 1, sodanig dat die bostaande vergelyking vereenvoudig tot: Dit is nou gelykstaande aan die formule vir eksponensieel geweeg bewegende gemiddelde (EWMA): in EWMA, die parameter lambda bepaal nou die 8220decay: 8221 'n lambda wat naby aan een (hoë lambda) vertoon stadige verval. Die RiskMetricsTM benadering RiskMetrics is 'n handelsmerk vorm van die eksponensieel geweeg bewegende gemiddelde (EWMA) benadering: die optimale (teoretiese) lambda is afhanklik van die bateklas, maar die algehele optimale parameter wat gebruik word deur RiskMetrics is 0.94. In die praktyk, RiskMetrics gebruik net een verval faktor vir al die reeks: 183 0.94 vir daaglikse data 183 0.97 vir maandelikse data (maand gedefinieer as 25 handelsdae) Tegnies, die daaglikse en maandelikse modelle is nie konsekwent nie. Hulle is egter albei maklik om te gebruik, hulle die gedrag van werklike data benader redelik goed, en hulle is sterk om misspecification. Let wel: GARCH (1, 1), EWMA en RiskMetrics is elke parametriese en rekursiewe. Rekursiewe EWMA voor - en nadele van MA (dws STDEV) teen GARCH Grafiese opsomming van die parametriese metodes wat meer gewig toeken aan onlangse opbrengste (GARCH amp EWMA) Opsomming Wenke: GARCH (1, 1) word veralgemeen RiskMetrics en omgekeerd, RiskMetrics is beperk geval van GARCH (1,1) waar 'n 0 en (BC) 1. GARCH (1, 1) word gegee deur: die drie parameters is gewigte en daarom moet opsom een: Wenk: Wees versigtig oor die eerste kwartaal in die GARCH (1, 1) vergelyking: omega () gammastrale () (gemiddelde langtermyn variansie). As jy gevra word vir die stryd, kan jy nodig het om te verdeel uit die gewig ten einde die gemiddelde afwyking te bereken. Bepaal wanneer en of 'n GARCH of EWMA model moet gebruik word in wisselvalligheid skatting In die praktyk, variansie tariewe is geneig gemiddelde te wees terugkeer dus die GARCH (1, 1) model is teoreties beter (8220more aantreklik than8221) om die EWMA model. Onthou, that8217s die groot verskil: GARCH voeg die parameter wat gewigte die langtermyn gemiddelde en daarom is dit inkorporeer beteken terugkeer. Wenk: GARCH (1, 1) verkies nie, tensy die eerste parameter is negatief (wat geïmpliseer as Alpha Beta GT 1). In hierdie geval, GARCH (1,1) is onstabiel en EWMA verkies. Verduidelik hoe die GARCH skattings voorspellings dat meer akkuraat is, kan voorsien. Die bewegende gemiddelde bere afwyking gebaseer op 'n sleep venster waarnemings bv die vorige tien dae, die vorige 100 dae. Daar is twee probleme met bewegende gemiddelde (MA): Ghosting funksie: wisselvalligheid skokke (skielike stygings) is skielik opgeneem in die MA metrieke en dan, wanneer die sleep venster verby, hulle is skielik gedaal van die berekening. As gevolg van hierdie die MA metrieke verskuif met betrekking tot die gekose venster lengte Trend inligting nie in aanmerking geneem GARCH skattings te verbeter op hierdie swakhede op twee maniere: Meer onlangse waarnemings word groter gewigte toegeken. Dit oorwin Ghosting omdat 'n wisselvalligheid skok onmiddellik sal 'n impak die skatting maar sy invloed sal geleidelik vervaag met verloop van tyd 'n term word bygevoeg om terugkeer te neem aan die gemiddelde Verduidelik hoe volharding is wat verband hou met die terugkeer na die gemiddelde. Gegewe die GARCH (1, 1) vergelyking: Persistence word gegee deur: GARCH (1, 1) is onstabiel as die volharding GT 1. 'n voortbestaan van 1,0 dui geen geringe terugkeer. 'N Lae volharding (bv 0.6) dui vinnige verval en 'n hoë terugkeer na die gemiddelde. Wenk: GARCH (1, 1) het drie gewigte aan drie faktore. Volharding is die som van die gewigte aan beide die uitgesak variansie en uitgestel kwadraat terugkeer. Die ander gewig aan die langtermyn-afwyking. As P volharding en G gewig te langtermyn variansie, dan PG 1. Daarom, as P (volharding) is hoog, dan G (gemiddelde terugkeer) opgedra is laag: die aanhoudende reeks is nie sterk beteken terugkeer dit vertoon 8220slow decay8221 teenoor die beteken. As P is laag, dan G moet hoog wees: die impersistent reeks het sterk beteken terugkeer dit vertoon 8220rapid decay8221 teenoor die gemiddelde. Die gemiddelde, onvoorwaardelike variansie in die GARCH (1, 1) model word gegee deur: Verduidelik hoe EWMA afslag stelselmatig ouer data, en identifiseer die RiskMetrics174 daaglikse en maandelikse verval faktore. Die eksponensieel geweegde bewegende gemiddelde (EWMA) word gegee deur: Bogenoemde formule is 'n rekursiewe vereenvoudiging van die 8220true8221 EWMA reeks wat gegee word deur: In die EWMA reeks, elke gewig wat aan die kwadraat opbrengste is 'n konstante verhouding van die voorafgaande gewig. Spesifiek, lambda (l) is die verhouding tussen naburige gewigte. Op hierdie manier, is ouer data te verdiskonteer. Die sistematiese afslag kan geleidelike (stadig) of skielike wees, afhangende van lambda. As lambda is hoog (bv 0.99), dan is die verdiskontering is baie geleidelike. As lambda is laag (bv 0.7), die verdiskontering is meer skielike. Die RiskMetrics TM verval faktore: 0.94 vir daaglikse data 0,97 vir maandelikse data (maand gedefinieer as 25 handelsdae) Verduidelik waarom vooruitskatting korrelasies belangriker as die voorspelling van wisselings kan wees. Wanneer meet portefeulje risiko, kan korrelasies belangriker as individuele instrument wisselvalligheid / afwyking wees. Daarom, ten opsigte van portefeulje risiko, 'n korrelasie voorspel kan belangriker as individuele wisselvalligheid voorspellings wees. Gebruik GARCH (1, 1) om wisselvalligheid Die verwagte toekomstige variansie koers, in (t) periodes vorentoe voorspel, gegee word deur: Byvoorbeeld, veronderstel dat 'n huidige wisselvalligheid skatting (tydperk N) word gegee deur die volgende GARCH (1, 1 ) vergelyking: In hierdie voorbeeld, Alpha is die gewig (0.1) aan die vorige kwadraat terugkeer (die vorige terugkeer was 4), beta is die gewig (0.7) aan die vorige variansie (0,0016). Wat is die verwagte toekomstige volatiliteit, in tien dae (N 10) In die eerste plek op te los vir die langtermyn-afwyking. Dit is nie 0,00008 hierdie kwartaal is die produk van die variansie en sy gewig. Sedert die gewig moet wees 0.2 (1-0,1 -0,7), op die lange duur variansie 0,0004. In die tweede plek moet ons die huidige variansie (tydperk N). Dit is byna aan ons gegee is bo: Nou kan ons die formule van toepassing op te los vir die verwagte toekomstige variansie koers: Dit is die verwagte afwyking koers, sodat die verwagte onbestendigheid is ongeveer 2,24. Let op hoe dit werk: die huidige wisselvalligheid is oor 3,69 en die langtermyn wisselvalligheid is 2. Die 10-dag af en verder projeksie 8220fades8221 die huidige koers nader aan die langtermyn koers. Parametriese Volatiliteit ForecastingEWMA 101 Die EWMA benadering het 'n aantreklike kenmerk: dit vereis relatief min data wat gestoor word. Om ons skatting op enige punt op te dateer, ons moet net 'n vorige skatting van die variansie koers en die mees onlangse waarneming waarde. 'N Sekondêre doel van EWMA is om veranderinge in die wisselvalligheid op te spoor. Vir klein waardes, Onlangse waarnemings beïnvloed die skatting stiptelik. Vir waardes nader aan een, die skatting veranderinge stadig gebaseer op onlangse veranderings in die opbrengste van die onderliggende veranderlike. Die RiskMetrics databasis (wat deur JP Morgan en openbaar gemaak beskikbaar) gebruik die EWMA met vir die opdatering daagliks wisselvalligheid. BELANGRIK: Die EWMA formule nie aanvaar 'n lang loop gemiddelde variansie vlak. So, die konsep van wisselvalligheid beteken terugkeer is nie vasgevang word deur die EWMA. Die ARCH / GARCH modelle is beter geskik vir hierdie doel. Lambda 'n Sekondêre doel van EWMA is om veranderinge in die wisselvalligheid op te spoor, sodat vir klein waardes, onlangse waarneming beïnvloed die skatting stiptelik, en vir waardes nader aan een, die skatting veranderinge stadig onlangse veranderinge in die opbrengste van die onderliggende veranderlike. Die RiskMetrics databasis (wat deur JP Morgan) en openbare beskikbaar gestel in 1994, gebruik die EWMA model met vir die opdatering daagliks wisselvalligheid skatting. Die maatskappy het bevind dat oor 'n reeks van die mark veranderlikes, hierdie waarde van gee voorspelling van die variansie wat die naaste aan besef variansie koers kom. Die besef variansie tariewe op 'n bepaalde dag is bereken as 'n ewe-gemiddelde van die daaropvolgende 25 dae. Net so, om die optimale waarde van lambda bereken vir ons datastel, moet ons die besef wisselvalligheid by elke punt te bereken. Daar is verskeie metodes, so kies een. Volgende, bereken die som van 'n vierkant foute (SSE) tussen EWMA skatting en besef wisselvalligheid. Ten slotte, verminder die SSE deur wisselende die lambda waarde. Klink maklik dit is. Die grootste uitdaging is om in te stem op 'n algoritme om besef wisselvalligheid bereken. Byvoorbeeld, die mense by RiskMetrics verkies die daaropvolgende 25-dag te besef variansie koers bereken. In jou geval, kan jy 'n algoritme wat daaglikse volume gebruik, MI / LO en / of openbare-close pryse te kies. Vrae Q 1: Kan ons gebruik EWMA om te skat (of voorspel) wisselvalligheid meer as 'n stap vorentoe Die EWMA wisselvalligheid verteenwoordiging nie aanvaar 'n langtermyn gemiddelde wisselvalligheid, en dus, vir enige vooruitsig horison meer as een-stap, die EWMA gee 'n konstante waarde: 7.3.7 eksponensieel Geweegde bewegende gemiddelde (EWMA) 7.3.7 eksponensieel Geweegde Moving gemiddelde tot die aannames van versoen eenvormig geweeg bewegende gemiddelde (UWMA) skatting met die realiteite van die mark heteroskedasticity, kan ons beramer 7.10 van toepassing op slegs die mees onlangse historiese data TQ. wat die meeste weerspieël die huidige marktoestande moet wees. Deur dit te doen, is self verslaan, soos die toepassing van beramer 7.10 'n klein hoeveelheid van die data sal sy standaard fout verhoog. Gevolglik UWMA behels 'n verknorsing: toe te pas op 'n baie data is sleg, maar so is dit toe te pas om 'n bietjie data. Dit gemotiveerde Zangari (1994) om 'n wysiging van UWMA genoem eksponensieel geweeg bewegende gemiddelde (EWMA) estimation.2 Dit geld 'n nonuniform gewig te tydreeksdata, sodat 'n baie data gebruik kan word voor, maar onlangse data is swaarder geweeg . Soos die naam aandui, is gewigte gebaseer op die eksponensiële funksie. Eksponensieel geweeg bewegende gemiddelde skatting vervang beramer 7.10 met waar verval faktor in die algemeen 'n waarde tussen 0,95 en 0,99 opgedra. Laer verval faktore is geneig om onlangse data swaarder gewig. Let daarop dat eksponensieel geweeg bewegende gemiddelde skatting is wyd gebruik word, maar dit is 'n beskeie verbetering op UWMA. Dit poog nie om die mark voorwaardelike heteroskedasticity model nie meer as UWMA doen. Sy gewig skema vervang die verknorsing van hoeveel data om te gebruik met 'n soortgelyke dilemma oor hoe aggressief n verval faktor om te gebruik. Oorweeg weer uitstal 7.6 en ons voorbeeld van die dollar 10mm posisie is SGD. Kom ons skat 10 1 Gebruik eksponensieel geweeg bewegende gemiddelde beramer 7.20. As ons gebruik 0,99, kry ons 'n skatting vir 10 1 van 0,0054. As ons gebruik 0,95, kry ons 'n skatting van 0,0067. Hierdie stem ooreen met onderskeidelik posisioneer waarde-op-risiko resultate van USD 89.000 en dollar 110,000. Oefeninge Exhibit 7.7 dui 30 dae van data vir 1-maand CHF Libor. Exhibit 7.7: Data vir 1-maand CHF Libor. Tariewe word uitgedruk as persentasies. Bron: Britse Bankers Association (BBA).EWMA Kovariansie Model Definisie Oorweeg N tyd reeks opbrengste en maak die gewone aanname dat opbrengste in volgorde ongekorreleerd. Dan kan ons 'n vektor van nul-gemiddelde wit geluide 949 t r t definieer - 956. waar r t is die N x2a2f 1 vektor van opgawes en 956 is die vektor van verwagte opbrengste. Ondanks die feit dat in volgorde ongekorreleerd, kan die opbrengs tydelike korrelasie te bied. Dit is: x2211 t x2254 120124 t - 1 r t - 956 r t - 956 mag nie 'n diagonaalmatriks wees. Daarbenewens kan hierdie tydelike afwyking-time wisselende, afhangende van die verlede inligting. Die eksponensieel Geweegde bewegende gemiddelde (EWMA) kovariansie model veronderstel 'n spesifieke parametriese vorm vir hierdie voorwaardelike kovariansie. Meer spesifiek, sê ons dat r t - 956 x2211 t 1 1 - x3bb r t - 956 r t - 956 x3bb x2211 t V-Lab gebruik x3bb 0.94. die parameter voorgestel deur RiskMetrics vir daaglikse opgawes, en 956 is die monster gemiddeld van die opbrengs. Korrelasies Let daarop dat die elemente van die belangrikste skuins van x2211 t gee ons voorwaardelike afwykings van die opbrengs, dit wil sê x2211 t i. Ek is die voorwaardelike variansie van die opbrengs r t i. Analoog, die elemente buite die hoof skuins gee ons voorwaardelike kovariansies, maw x2211 t i. j is die voorwaardelike kovariansie tussen die opbrengste r t i en r t j. Dus, kan ons maklik terug te draai die voorwaardelike korrelasies, x393 t i. j x2254 x2211 t i. j x2211 t i. Ek x2211 t j. j Dit is wat gestip deur V-Lab. Meer saaklik, kan ons die hele korrelasie matriks deur te definieer: x393 t x2254 D t -1 x2211 t D t -1 waar D t is 'n matriks sodanig dat, x2200 i. j x2208 1. N: D t i. j x2254 x3b4 i. j x2211 t i. j waar x3b4 i. j is die Kronecker delta, maw x3b4 i. j 1 as ek j en x3b4 i. j 0 anders. Dit wil sê, D t is 'n matriks met met al die elemente buite die hoof skuins stel aan nul, en die hoof skuins stel om die voorwaardelike wisselings, dit wil sê die elemente in die hoof skuins gelyk is aan die vierkantswortel van die elemente in die hoof skuins van x2211 t. Dan, ek x393 t. j is weer die korrelasie tussen r t i en r t j. Let daarop dat x393 t i. j 1. x2200 Ek x2208 1. n. Met betrekking tot die GARCH (1,1) Model Let daarop dat die EWMA is eintlik 'n meerveranderlike weergawe van 'n IGARCH 1 1 model, wat 'n spesifieke geval van die GARCH 1 1 model. Let ook op dat na iterating die voorwaardelike variansie uitdrukking, kry ons as x3bb x2208 0 1: x2211 t 1 1 - x3bb 949 t 949 t x3bb 1 - x3bb 949 t - 1 949 t - 1 x3bb 2 1 - x3bb 949 t - 2 949 t - 2. 1 - x3bb 949 t 949 t x3bb 949 t - 1 949 t - 1 x3bb 2 949 t - 2 949 t - 2. 949 t 949 t x3bb 949 t - 1 949 t - 1 x3bb 2 949 t - 2 949 t - 2. 1 1 - x3bb 949 t 949 t x3bb 949 t - 1 949 t - 1 x3bb 2 949 t - 2 949 t - 2. 1 x3bb x3bb 2. wat 'n geweegde gemiddelde, met gewigte verval eksponensieel op koers x3bb. vandaar die naam van die model, eksponensieel Geweegde bewegende gemiddelde. Bibliografie Engle, R. F. 2009. Vooruit Korrelasies: 'n nuwe paradigma vir Risikobestuur. Princeton University Press. Tsay, R. S. 2005. Ontleding van finansiële tydreekse mdash 2 Ed. Wiley-Interscience. Deel jou insigte: Inligting word verskaf soos en uitsluitlik vir inligting doeleindes, nie vir doeleindes van handeldryf of advies. Bykomende ProvisionsCalculate Historiese Volatiliteit Gebruik EWMA Volatiliteit is die mees algemeen gebruik word mate van risiko. Wisselvalligheid in hierdie sin kan óf historiese wisselvalligheid (een waargeneem uit die verlede data), of dit kan geïmpliseer wisselvalligheid Die historiese wisselvalligheid kan bereken word op drie maniere, naamlik (onderhou van markpryse van die finansiële instrumente.): Eenvoudige wisselvalligheid, eksponensieel Geweegde Moving Gemiddeld (EWMA) GARCH Een van die groot voordele van EWMA is dat dit gee meer gewig aan die onlangse opbrengste, terwyl die berekening van die opbrengs. In hierdie artikel, sal ons kyk na hoe wisselvalligheid word bereken deur gebruik te maak EWMA. So, laat ons begin: Stap 1: Bereken log opbrengste van die prys reeks As ons kyk na die aandeelpryse, kan ons die daaglikse lognormale opbrengste bereken met behulp van die formule ln (P i / P i -1), waar P verteenwoordig elke dae eindvoorraad prys. Ons moet die natuurlike log te gebruik, want ons wil die opbrengste voortdurend te vererger. Ons sal nou daagliks opbrengste vir die hele prys reeks. Stap 2: vierkant die opbrengs Die volgende stap is die neem van die vierkante van lang opbrengste. Dit is eintlik die berekening van eenvoudige variasie of wisselvalligheid wat deur die volgende formule te gebruik: Hier, jy verteenwoordig die opbrengs, en m verteenwoordig die aantal dae. Stap 3: Ken gewigte Ken gewigte sodanig dat onlangse opbrengste hoër gewig en ouer opbrengste het minder gewig. Vir hierdie het ons 'n faktor genoem Lambda (), wat 'n glad konstante of die aanhoudende parameter. Die gewigte word toegeken as (1-) 0. Lambda moet wees minder as 1. Risiko metrieke gebruik lambda 94. Die eerste gewig sal wees (1-0,94) 6, die tweede gewig sal wees 60,94 5,64 en so aan. In EWMA al die gewigte op te som tot 1, maar hulle dalende met 'n konstante verhouding van. Stap 4: Vermenigvuldig Opbrengste-kwadraat met die gewigte Stap 5: Neem die opsomming van R 2 w Dit is die finale EWMA variansie. Die wisselvalligheid sal die vierkantswortel van variansie wees. Die volgende kiekie toon die berekeninge. Die voorbeeld hierbo dat ons gesien het, is die benadering beskryf deur RiskMetrics. Die algemene vorm van EWMA kan voorgestel word as die volgende rekursiewe formule: 1 Kommentaar
No comments:
Post a Comment